که در آن،   تعداد ،   تعداد متغیرهای توضیحی و   تعداد مشاهدات در طول زمان میباشد. رد فرضیه صفر بیانگر استفاده از روش پانل میباشد
در عمل، استفاده از روش داده های پانلی نسبت به روش های مقطعی و سریهای زمانی دو مزیت عمده دارد:
۱- به محقق این امکان را میدهد تا ارتباط میان متغیرها و حتی واحدها (کشورها)را در طول زمان در نظر بگیرد و به بررسی آنها بپردازد.
۲- در توانایی این روش در کنترل اثرات انفرادی مربوط به کشورها (به عنوان واحدهای مقطعی) است که قابل مشاهده و اندازه گیری نیستند.
آماره آزمون هاسمن^[۱۱۹] برای تعیین روش تخمین در داده های پانلی به کار میرود که آماره آن (H) دارای توزیع   با درجه آزادی   (تعداد متغیرهای توضیحی) است و به صورت زیر تعریف میشود:

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

به طوری که  معرف تخمینزنندههای روش اثرات ثابت و  نشان دهنده تخمینزنندههای روش اثرات تصادفی است. این آزمون در حقیقت، آزمون فرضیه ناهمبسته بودن اثرات انفرادی و متغیرهای توضیحی است که طبق آن تخمینهای حداقل مربعات تعمیم یافته (GLS ) (تحت فرضیه H0) سازگار و تحت فرضیه H1 ناسازگار است  .
در صورتی که فرضیهH0رد نشود، روش اثرات تصادفی به روش اثرات ثابت ترجیح داده میشود و به عنوان روش مناسبتر و کارآتر انتخاب میشود، در غیر اینصورت، روش اثرات ثابت کارآ است
آزمون هاسمن
اگر بر اساس آزمون F لیمر روش داده های پانلی انتخاب گردید، این پرسش مطرح است که آیا تفاوت در عرض از مبدأ واحدهای مقطعی به طور ثابت عمل می کند یا این که عملکرد های تصادفی می توانند این اختلاف بین واحدها را به طور واضح تری بیان نماید که این دو روش به ترتیب روش های اثرات ثابت و اثرات تصادفی نامیده می شود. برای تشخیص این موضوع از آزمون هاسمن استفاده می شود.
این آزمون بیان می دارد که تحت فرض عدم وجود همبستگی بین داده های مقطعی و سایر متغیرهای توضیحی هر دو برآوردگر اثر ثابت و اثر تصادفی ناسازگارند ولی برآوردگر اثر ثابت ناکارا هم هست اما در صورت وجود همبستگی بین داده های مقطعی و سایر متغیرهای توضیحی اثر ثابت(LSDV) سازگار است اما اثر تصادفی(REM) ناسازگار می باشد.
آماره ی هاسمن دارای توزیع کای – دو با درجه آزادی K تعداد متغیرهای توضیحی به صورت رابطه زیر می باشد:
W = (bs-βs)*(M1-M0)-1(bs-βs) (9-3)
M0 : ماتریس واریانس به روش اثرات تصادفی
M1 : ماتریس واریانس به روش اثرات ثابت
βs : برآورد به روش اثرات تصادفی
bs : برآورد به روش اثرات ثابت

H0: دو برآوردگر نباید به طور مشخص تفاوتی داشته باشند اما در عین حال مدل اثر تصادفی ارجح است.
H1: وجود مدل اثر ثابت و رد اثر تصادفی.
رگرسیون پانلی
مدل رگرسیون تابلویی ذیل را در نظر بگیریم:
(۱)
در رابطه (۱)، I نشان دهنده i امین واحد مقطعی و t نشان دهنده t امین دوره زمانی است. فرض می شود، حداکثر n مقطعی و حداکثر t دوره زمانی وجود دارد.
برآورد مدل (۱) به فروض ما در مورد عرض از مبدا، ضرایب شیب و جمله خطای  بستگی دارد. در حالت کلی در برآورد رابطه (۱) عبارتند از:
الف- فرض کنیم، عرض از مبدا و ضرایب شیب در طول زمان و در فضا ( مکان ) ثابت بوده و جمله خطا در طول زمان و برای افراد مختلف متفاوت باشد.
ب) ضرایب شیب ثابت اما ، عرض از مبدا برای افراد مختلف متفاوت است. ساده ترین روش حذف ابعاد فضا از داده های ترکیبی در حالت الف و برآورد رگرسیون متداول حداقل مربعات معمولی است. در این حالت مدل (۱) به صورت ذیل تصریح خواهد شد.
(۲)
همان طور که مشاهده می کنید در برآورد رابطه (۲) عرض از مبدا و ضرایب شیب بین تمامی مقاطع مشترک خواهند بود. برآورد رابطه (۲) که با روش حداقل مربعات معمولی صورت می گیرد، روش حداقل مربعات تلفیقی^[۱۲۰] معروف است.
روش دیگر برای ملاحظه تکی ( وجود مستقل) هر یک از واحد های مقطعی آن است که عرض از مبدا برای هریک از آن ها متفاوت باشد. با فرض ثابت بودن ضرایب شیب بین مقاطع می توان معادله رگرسیون را به صورت ذیل تصریح کرد
(۳)
در رابطه (۳)،اندیس I در جمله عرض از مبدا نشان می دهد که عرض از مبداهای متفاوت ممکن است، ناشی از ویژگی های خاص هر یک از مقاطع باشد در ادبیات اقتصادی مدل (۳) به مدل رگرسیون اثرات ثابت یا حداقل مربعات متغیر موهومی ^[۱۲۱] معروف است. اصطلاح تاثیرات ثابت ناشی از این حقیقت است که با وجود تفاوت عرض از مبدا میان مقاطع، عرض از مبدا های هر مقطع طی زمان تغییر نمی کند. برای این که عرض از مبدا های هر مقطع بدون تغییر باقی بماند، از متغیر های موهومی در این روش استفاده می شود^[۱۲۲]. برای انتخاب مدل حداقل مربعات تلفیقی و مدل اثرات ثابت از آزمون f مقید استفاده می شود. تصریح این آزمون به صورت زیر می باشد:
(۴)
در رابطه (۴)،  ضریب تعیین در روش اثرات ثابت،  ضریب تعیین در روش حداقل مربعات تلفیقی، N تعداد مقاطع، k تعداد متغیر های توضیحی و T طول دوره زمانی می باشد. اگر f محاسباتی از f بحرانی بزرگتر باشد، در این صورت روش اثرات ثابت انتخاب خواهد شد.
اگر چه کاربرد مستقیم مدل اثرات ثابت یا حداقل مربعات متغیر موهومی ممکن است، اما این مدل از مشکلاتی مانند، کمبود درجه آزادی و امکان همخطی مرکب رنج می برد. استدلال پایه ای مدل اثرات ثابت آن است که در تصریح مدل رگرسیونی نمی توان متغیر های توضیحی مناسب را که طی زمان تغییر نمی کنند ، وارد مدل کنیم. از این رو وارد کردن متغیر های موهومی پوشش و جبرانی برای این بی توجهی و نا آگاهی ماست.
طرفداران مدل اثرات تصادفی (RE) یا مدل اجزا خطا (ECM) معتقدند که اگر متغیر های موهومی نشان دهنده فقدان دانش و اطلاعات ما درباره مدل حقیقی هستند چرا آن را از طریق جمله خطا  بیان نکنیم؟ ایده اساسی و آغازین با رابطه (۳) شروع می شود. طرفداران روش تاثیرات تصادفی معتقدند، به جای این که فرض کنیم در رابطه (۳)  را ثابت، آن را که متغیر تصادفی با میانگین  و مقدار عرض از مبدا برای هر مقطع به صورت زیر بیان می شود.
(۵)
در رابطه (۵) ،  جمله خطای تصادفی با میانگین صفر و واریانس  است.
فرض اساسی در مدل تاثیرات تصادفی این است که مقاطع مورد مطالعه متعلق به جامعه ای بزرگتر هستند و میانگین مشترکی برای عرض از مبدا دارند. اختلاف در مقادیر عرض از مبدا هر مقطع در جمله خطای  منعکس می شود. بر اساس مدل تاثیرات تصادفی رابطه (۳) این چنین خواهد بود:

جمله خطای ترکیبی  متشکل از دو جزء  (خطای مقطعی) و  (خطای ترکیبی) می باشد. مدل اجزا خطا به این سبب خوانده می شود که جمله خطای ترکیبی  از دو یا چند جزء خطا تشکیل شده است ساختار جمله خطا در روش اثرات تصادفی به گونه ای است که باید این روش را با کمک حداقل مربعات تعمیم یافته برآورد زد.
چند نکته در مورد روش های اثرات ثابت و تصادفی قابل ذکر است: در روش اثرات تصادفی نباید بین جمله خطای مقطعی و متغیر های توضیحی الگو رابطه وجود داشته باشد. در حالی که در روش اثرات ثابت این رابطه می تواند وجود داشته باشد. همان طور که قبلا گفته شد، در روش اثرات ثابت باید جمله عرض از مبدا طی زمان ثابت، در حالی که در روش اثرات تصادفی عرض از مبدا می تواند طی زمان تغییر پیدا کند.
در روش اثرات ثابت نمی توان از متغیر موهومی استفاده کرد، زیرا با متغیر های موهومی که برای عرض از مبدا در این مدل به کار برده می شود، همخطی پیدا خواهد کرد . این در حالتی است که روش اثرات تصادفی می توان از این نوع متغیر استفاده نمود.
برای انتخاب بین روش ثابت و تصادفی می توان از آزمون هاسمن^[۱۲۳] استفاده کرد.
K
K تعداد متغیر های توضیحی،  و  به ترتیب بردار ضرایب در روش اثرات ثابت و تصادفی،  و  به ترتیب ماتریس کوواریانس ضرایب در روش اثرات ثابت و تصادفی می باشند.
فرضیه صفر: روش اثرات تصادفی کاراتر است.
فرضیه مقابل: روش اثرات ثابت کاراتر است
همانطور که در رابطه (۶) مشاهده میشود، نتایج آزمون هاسمن دارای توزیع مجانبی   می باشد و تعداد درجات آزادی آن برابر با تعداد متغیر های توضیحی مدل است.
بررسی مدل اثرات ثابت و اثرات تصادفی