روابط ‏۳–۱ تا ‏۳–۳ نشان‌دهنده مسأله سطح بالا و روابط ‏۳–۴ تا ‏۳–۱۸ نشان‌دهنده مسأله سطح پایین است. مسأله سطح بالا به قیود ‏۳–۲، ‏۳–۳ و مسأله سطح پایین مقید است. در سطح پایین، بردار ضرایب لاگرانژ قیود تساوی برابر است با:
بردار ضرایب لاگرانژ قیود نامساوی برابر است با:

ضرایب لاگرانژ هریک از قیود تساوی و نامساوی در روابط ‏۳–۵ تا ‏۳–۱۸ پس از معادله و علامت دونقطه آورده شده است.
در مسأله بهینه­­سازی دوسطحی فوق، اگرچه مسأله بهینه‌سازی سطح پایین به متغیر بهینه‌سازی مسأله سطح بالا یعنی وابسته است ولی این متغیر در سطح پایین به‌صورت پارامتر در نظر گرفته می­ شود؛ زیرا متغیر تصمیم مسأله سطح پایین نیست. بنابراین حاصل‌ضرب در تابع هدف مسأله سطح پایین در رابطه ‏۳–۴، سبب غیرخطی شدن این رابطه نمی‌شود (به رابطه ب-۴۴ پیوست ب نگاه کنید).

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

به­ دلیل خطی بودن مسأله بهینه‌سازی سطح پایین، می‌توان از هر دو روش تبدیل مسائل بهینه‌سازی مقید به مسائل بهینه­سازی دیگر (OPcOP)^[38] به مسأله بهینه­سازی با قیود مکمل (MPCC)^[39] و مسائل بهینه‌سازی مقید به مسائل بهینه‌سازی خطی (OPcLP)^[40] به مسأله بهینه­سازی با قیود اصلی و دوگان (MPPDC)^[41] به‌منظور حل این مسأله استفاده کرد (اطلاعات تکمیلی در پیوست ب). در ادامه، در ابتدا، هر دو روش مورد استفاده قرار گرفته و روابط حاصل‌شده را ارائه می­دهیم.

تبدیل مسأله انتخاب نقطه تعادل به MPCC
با مشخص بودن ضابطه تابع هدف، قیود تساوی و نامساوی و پیوسته مشتق‌پذیر بودن این توابع در ناحیه ممکن، تابع لاگرانژ به‌صورت زیر تعریف می‌شود (نحوه استخراج شرایط KKT در پیوست ج آمده است).

‏۳–۱۹

عناصر بردار متغیر بهینه‌سازی در رابطه ‏۳–۲۰ نشان داده شده است.

‏۳–۲۰

برای برقراری اولین شرط KKT، لازم است که مشتق تابع لاگرانژ نسبت به عناصر بردار برابر با صفر باشد. شرایط حاصله در روابط ‏۳–۲۱ تا ‏۳–۲۷ نشان داده شده است.
شرایط حاکم بر مشتق تابع لاگرانژ نسبت به متغیر :

‏۳–۲۱

شرایط حاکم بر مشتق تابع لاگرانژ نسبت به متغیر :

‏۳–۲۲

شرایط حاکم بر مشتق تابع لاگرانژ نسبت به متغیر :